В 1531 году к итальянскому математику Никколо Тарталья (1499-1557), что по-итальянски означает "заика", обратился знакомый канонир и попросил указать, под каким углом к горизонту должен быть направлен ствол орудия, чтобы дальность стрельбы была максимальной. Математик как раз в это время был занят составлением таблиц стрельбы.
Математик в своих рассуждениях исходил из того, что дистанция стрельбы равна нулю как при 0o, так и при 90o. Естественоо, что искомый унол должен быть где-то посередине, и поэтому Тарталья пришел к выводу, что скорее всего он составит 45o. Артиллеристы подтвердили его выводы: ядро 20-ти фунтовой кулеврины при угле метания в 45o пролетало дальше, чем при угле в 30o. Эти выводы, сделанные на основе всего только этих двух выстрелов, оказали плохую услугу артилеристам, так как был постпешено сделан вывод, что угол метания для достижения требуемой дальности стрельбы может быть получен чисто геометрическими построениями. Математик в 1546 году гордо заявлял: "Зная одну-единственную дальность какого-либо орудия, я в состоянии построить таблицу всех дальностей этого орудия под всеми углами возвышения; благодаря этой таблице всякий, кто будет иметь ее перед глазами, не только сумеет стрелять из этого орудия, но сможет заставить стрелять из него наиболее невежественного канонира". Вопрос о траектории тоже решался очень просто: она интерпретировалсь двумя прямыми - наклонной восходящей и наклонной нисходящей, сопряженных между собой дугой окружности. Об этом Тарталья писал в своем труде "Исследования и различные изобретения, касающиеся артиллерии". Но вскоре дождем посыпались опровержения и различные уточнения. Так, в 1613 году испанский артиллерист Д.Уфано обратил внимание на то, что одна и та же дальность может быть достигнута при различных углах, равноотстоящих от угла 45o. Но опыт полностью не подтвердил и этого предположения; ядро однофунтового фальконета выстреленное при углах, равноотстоящих от 45o, не летело на одинаковое расстояние. При угле 60o дальность была большей, чем при угле 30o, при 50o большей, чем при 40o. Дальше - больше, оказалось, что и максимальная дальность достигается не при угле метания в 45o, а при меньшем!
Эту задачу веронского артеллириста решил сто лет спустя, а именно, в 1638 году Галилео Галилей - крайне разносторонний ученый, но далекий от артиллерии человек. Он установил, что при отсутсвии сопротивления воздуха тело, брошенное под углом к горизонту, описывает параболу, и что максимальная дальность в этом случае действительно достигается при угле возвышения в 45o. Это излагалось в "Беседах и математических доказательствах". Там же говорилось, что в реальности сопротивление воздуха сильно искажает эту идеализированную картину, и что снаряд летит по кривой, которая носит название баллистической траектории. Ядро при этом испытывает тем большее сопротивление воздуха, чем выше его начальная скорость. Поэтому для вычисления истинной дальности необходимо вводить поправки на сопротивление воздуха.
Хотя выводы Тартальи и были не соответсвовавшими действительности, тем не менее Галилей писал: "Удивительна и вместе с тем восхитительна сила убедительности, которая присуща одной лишь математике. Я уже был знаком со слов опытных бомбардиров с тем, что из всех выстрелов наиболее дальнобойным является тот, который производится при угле, равном половине прямого... Но понимание причины, по которой это происходит, дает неизмеримо больше, чем простое сведение, взятое из показаний других лиц или даже из многократно повторенного опыта".
С именем Тартальи связана ещё одна важная работа.
В 1535 году он вывел правила нахождения корней трехчленных кубических уравнений вида: x3 + ax + b = 0. Своё открытие он держал в тайне и порой поражал своим искусством непосвящённых. Ради справедливости следует отметить, что это решение было найдено еще умершим в 1526 году болонским профессором математики Сципионом дель Ферро, в бумагах которого были найдены записки о разных способах решения, нигде неопубликованные.
Вскоре с Тартальей познакомился миланский профессор Джироламо Кардано, именем которого назван "карданов подвес". Доверчивый Тарталья поведал профессору свой секрет, заручившись обещанием держать его в тайне. Но уже в 1545 году этот метод решения кубических уравнений помещается в труде Кардано "Великое искусство", посвящённом алгебре. В историю математики этот метод носит название "формулы Кардано".